Makalah Matematika (Matriks) (kelas 11)

                    

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang matematika maupun ilmu terapannya. Aplikasi tersebut banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan yang senantiasa berhubungan dengan angka-angka, dalam dunia olahraga seperti penentuan klasemen suatu pertandingan, dalam bidang ekonomi biasa digunakan untuk menganalisa input dan output seluruh sektor ekonomi. (Supranto, 1987).

1.2  Rumusan Masalah

1)      Apakah pengertian dari matriks

2)      Menjelaskan macam-maca matriks

3)      Apakah yang dimaksud dengan invers matriks

4)      Apakah yang dimaksud dengan determinan matriks

5)      Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-) pada matriks

6)      Sifat-sifat perkalian pada matriks

1.1  Tujuan

1)      Untuk mengetahui pengertian matriks

2)      Untuk mengetahui macam-macam matriks

3)      Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks

4)      Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks

5)      Untuk mengetahui operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks

6)      Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian pada matriks

BAB II

          PENGERTIAN MATRIKS

2.1 Pengertian Matriks

Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Contoh :

Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau   di  tulis A(3×4).

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

BAB III

MACAM-MACAM MATRIKS

3.1 Berdasarkan Ordo

·         Matriks Bujur Sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya

Contoh

• Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

          Contoh :    A =  ( 2  1  3  -7 )

• Matriks Kolom adalah  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

          Contoh :   A =      3

                                       5

                                       7                      

• Matriks Tegak  adalah  suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

          Contah :  B=      2    5

                               7    6

                                     4    6 

• Matriks datar adalah Matriks  yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

       Contoh :

3.2 Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya

·         Matriks Nol

Adalah  matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL

• Matriks Diagonal

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol

Contoh :

• Matriks Segi Tiga Atas
  Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol

• Matriks Sembarang

matriks yang tidak punya aturan – aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya  adalah bebas).

 Contoh – contoh :

·         Matriks Segitiga Bawah
Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

• Matriks Skalar
  Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama. Simak contoh di bawah ini

·         Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1

• Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

       Contoh : 

BAB IV

TRASPOSE MATRIKS

4.1 Pengertian Transpose Matriks

           

            Transpose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan  mengubah baris menjadi kolom matriks mula – mula, atau sebaliknya.

           

Transpose matriks A dinotasikan A^T atau A^t .

    

BAB V

INVERS MATRIKS

5.1  Pengertian Invers Matriks

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

5.2 Contoh-Contoh Invers Matriks

Contoh 1 :

Hitung invers matriks A_2×2 berikut A = .

Penyelesaian :            Jika kita punya matriks 2×2, misal A = , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus

A^-1= B

Cek, apakah AB = BA = I

AB = = = I

BA = = = I

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh 2 :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

1. baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]
2. baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]
3. baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]
4. baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]
5. baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah

 A^-1 =  

BAB VI

DETERMINAN MATRIKS

6.1 Pengertian Determinan Matriks

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A = untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc

6.2 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

 Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = – 2 + 3 = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A_3×3

A = – 4 + 3 = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8

Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3×3

A =

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) =

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A =

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = A₂ = A₃ =

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas maka,

Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,…,E_r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,
R=E_r…E₂ E₁ Adan,
det(R)=det(E_r)…det(E₂)det(E₁)det(E_A)Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
1+3x2= λx1 4x1+2x2=λx2
dapat ditulis dalam bentuk

 = λ

yang kemudian dapat diubah

A = dan x =

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

     λ

     λ

sehingga didapat bentuk

     λ I - A =

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

     det (λ I - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

     det (λ I - A) =

 = 0

atau λ^2 – 3λ – 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂ = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I – A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁ = t

BAB VII

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

7.1 Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)

Contoh:

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan matriks B mempunyai ukuran yang berbeda

7.2  Pengurangan Matriks

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

BAB VIII

SIFAT-SIFAT PERKALIAN PADA MATRIKS

8.1  Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij )
Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB
Contoh:

8.2  Perkalian Matriks dengan Matriks

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana 

Contoh

Beberapa Hukum Perkalian Matriks:

1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
3. Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
1. A = 0 dan B = 0
2. A = 0 atau B = 0
3. A  ¹0 dan B  ¹0
5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C